量子糾纏—續集

           上篇文章中介紹了EPR實驗，也提到了「糾纏」一詞的出現。在實際給出量子糾纏的定義前，先介紹一些基本的物理與數學觀念：

複合系統的量子態 (States for composite systems)

           假設有兩個 qubits 的狀態分別為 $\left|\psi_1\right>$、$\left|\psi_2\right>$ ，則可以用張量積（tensor product）的形式表示整個系統的狀態：$\left|\psi\right>=\left|\psi_1\right>\otimes \left|\psi_2\right>$ 。為了方便起見，也可以寫成 $\left|\psi_1\right>\left|\psi_2\right>$，或是在不致混淆的情形下，僅記做 $\left|\psi_1\psi_2\right>$。以最簡單的情況舉例，若兩個 qubits 分別在 $\left|0\right>$、$\left|1\right>$ 狀態，則整個系統可以寫作 $\left | 01 \right >$ 。

           對於每個 qubit 來說，其狀態可能是兩個基底（ $\left | 0 \right >$ 或  $\left | 1 \right >$  ）的疊加，即 $\left|\psi_1\right>=A\left|0\right>+B\left|1\right>$；類似的，對於 qubit 2 也可以類似的展開： $\left|\psi_2\right>=C\left|0\right>+D\left|1\right>$，其中 $A,B,C,D$ 為展開後的係數。那麼整個系統的狀態該如何表示呢？
\[\begin{align*}\left|\psi\right>& = \left|\psi_1\right>\left|\psi_2\right>\\
& = (A\left|0\right>+B\left|1\right>)(C\left|0\right>+D\left|1\right>)\\
& = AC\left|00\right>+AD\left|01\right>+BC\left|01\right>+BD\left|11\right>\\
& = \alpha\left|00\right>+\beta\left|01\right>+\gamma\left|01\right>+\delta\left|11\right>
\end{align*}\]
其中 $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ 為對應的係數。

           也就是說，對於由兩個基底為 $\left | 0 \right >$、 $\left | 1 \right >$ 的子系統組成的系統，其基底為 $\left|00\right>, \left|01\right>, \left|01\right>, \left|11\right>$ 四個狀態，為不同子系統基底的張量積。此觀念可以被類似的推廣到更高維度或更多子系統的系統，複合系統的基底會是各子系統基底不同組合的張量積。

可分性 (Separability) 與糾纏 (entanglement)

           對於一個複合系統的狀態，例如 $\frac{1}{\sqrt 2}(\left|00\right>-\left|10\right>)$，可以被化簡為 $\left(\frac{\left|0\right>-\left|1\right>}{\sqrt 2}\right)\otimes\left|0\right>$，則稱此狀態為「可分的」（separable）。一個可分的狀態表示兩個子系統分別擁有各自的狀態，僅僅是被以張量積的方式合併在一起。

           而對於另一個狀態 $\frac{1}{\sqrt 2}(\left|00\right>-\left|11\right>)$，可以證明不存在兩個狀態 $\left|\psi_1\right>,\left|\psi_2\right>$，能使其張量積為原本的狀態。這種無法寫成張量積的狀態，稱作不可分（non-separable）的狀態，又稱作糾纏態。

貝爾態（Bell's States）

           貝爾態是四個對於兩個 qubit 組成的系統中常見的糾纏態，在 EPR 實驗中使用的狀態即是其一。四個狀態如下：
\[\begin{align*}
\left|\Phi^\pm\right>&  = \frac{1}{\sqrt 2}(\left|00\right>\pm\left|11\right>)\\
\left|\Psi^\pm\right>& = \frac{1}{\sqrt 2}(\left|01\right>\pm\left|10\right>)
\end{align*}\]

小結

           這篇文簡單介紹了複合系統的狀態以及量子糾纏的數學定義。如同在前篇文章中所述，量子糾纏是和古典直覺完全不同的現象，也因此在量子計算、量子通訊等不同的領域中都扮演了重要的角色。事實上關於糾纏還有很多課題可以深入探討：從如何在不同的系統製備糾纏態、如何衡量糾纏態的「糾纏程度」、到量子糾纏在物理學的本質等等。總而言之，糾纏在將來的應用中會是非常重要的一項資源。