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| 一個量子電路[1] |
量子態 (States) 與算符 (Operators)
先前有介紹過量子態的觀念，那時使用了抽象的 Dirac Notation 表示狀態（例如 $\left|\psi\right>$）。而對於 qubit 的情形，由於考慮的是雙態系統（即狀態為 $\left|0\right>$ 、 $\left|1\right>$ 、或兩者的疊加），可以將狀態很簡單的使用如下的矩陣表示：
\[\begin{align*}
&\left|0\right> \to\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right) \\
&\left|1\right> \to\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right) \\
&a\left|0\right>+b\left|1\right> \to\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)
\end{align*}\]
&\left|0\right> \to\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right) \\
&\left|1\right> \to\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right) \\
&a\left|0\right>+b\left|1\right> \to\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)
\end{align*}\]
算符則像是作用於量子態的一個「函數」：初始的量子態 $\left|\psi_0\right>$ 經由算符 $U$ 作用而變成另一個量子態 $\left|\psi\right>=U\left|\psi_0\right>$。在前段所提到的雙態系統狀態的矩陣表示中，算符可以用一個 $2\times 2$ 矩陣表示。另外，在量子力學中，（非測量的）操作必須要是么正變換（unitary transformation，不過這個中文也是剛剛查了才知道，所以之後如果提到還是會用英文...）。
量子閘（Quantum Gate）
如前面所說，可以利用各種不同的算符操作 qubit 。就像許多古典位元運算被命名成不同邏輯閘（AND, OR, XOR 等等），而對 qubit 的各種操作也可以寫成不同的「量子閘」。下將就常見的幾種做介紹：
\[
X = \left(\begin{matrix}
0&1\\1&0
\end{matrix}\right)\quad
Y = \left(\begin{matrix}
0&-i\\i&0
\end{matrix}\right)\quad
Z = \left(\begin{matrix}
1&0\\0&-1
\end{matrix}\right)\quad
\]
這三個矩陣被稱作「包立矩陣」（Pauli Matrices），對於自旋1/2粒子的自旋理論十分重要，有興趣的讀者可參考維基百科頁面。
以 $X$ 做例子，$X$ 作用在某一個狀態 $\left|\psi_0\right> = \left(\begin{matrix} a\\ b \end{matrix}\right)$ 後，會得到
\[ \left|\psi\right>=
\left(\begin{matrix}
0&1\\1&0
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
a \\ b
\end{matrix}\right)
= \left(\begin{matrix}
b \\ a
\end{matrix}\right). \]
繞 $x, y, z$ 三軸旋轉 $\theta$ 的算符分別記做 $R_x(\theta), R_y(\theta), R_z(\theta)$，各自定義如下：
\[\begin{align*}
R_x(\theta) & \equiv e^{-i\theta X/2}=
\left(\begin{matrix}
\cos \frac\theta 2 & -i\sin \frac\theta 2 \\
-i\sin\frac\theta 2 & \cos \frac\theta 2
\end{matrix}\right) \\\quad\\
R_y(\theta) & \equiv e^{-i\theta Y/2}=
\left(\begin{matrix}
\cos \frac\theta 2 & -\sin \frac\theta 2 \\
\sin\frac\theta 2 & \cos \frac\theta 2
\end{matrix}\right)\\\quad\\
R_z(\theta) & \equiv e^{-i\theta Z/2}=
\left(\begin{matrix}
\exp (-i\theta/2) & 0 \\
0 & \exp (i\theta/2)
\end{matrix}\right)
\end{align*}\]
其中形如 $\exp (-i\theta X/2) $ 的項利用矩陣指數來定義。雖然這些旋轉的定義看起來十分複雜，但其實只要先寫出在不同旋轉時，球座標的角度（$\theta, \phi$）的變換，最後再利用 Bloch sphere 上點座標到量子態的對應，就可以得到這些旋轉變換的表示式了。
為什麼要特別注意 Bloch sphere 上的旋轉呢？事實上，可以證明所有合法操作（即 unitary operations）都可以表示成 $e^{i\alpha}R_z(\beta)R_y(\gamma)R_z(\delta)$，也就是表示成一些 $Z, Y$ 方向的旋轉的乘積，此稱作 Z-Y decomposition [2]。當然，也可以把算符對於 x, y 兩方向的旋轉展開，得到類似的 X-Y decomposition 等等。
至此，對於單位元閘的簡介告一段落，下篇文章將會介紹多位元閘（multi-qubit gate，作用對象不只單個 qubit 的操作），尤其是最重要的雙位元閘：CNOT。此外，關於常見的算符恆等式、以及怎麼利用這些算符建構出特定的演算法等等課題，將於往後的文章陸續介紹。
單位元閘（single-qubit gate）
首先介紹三個基本的 Pauli 閘，分別是 Pauli-X, Pauli-Y, Pauli-Z，或只寫成 $X$ , $Y$ , $Z$：\[
X = \left(\begin{matrix}
0&1\\1&0
\end{matrix}\right)\quad
Y = \left(\begin{matrix}
0&-i\\i&0
\end{matrix}\right)\quad
Z = \left(\begin{matrix}
1&0\\0&-1
\end{matrix}\right)\quad
\]
這三個矩陣被稱作「包立矩陣」（Pauli Matrices），對於自旋1/2粒子的自旋理論十分重要，有興趣的讀者可參考維基百科頁面。
以 $X$ 做例子，$X$ 作用在某一個狀態 $\left|\psi_0\right> = \left(\begin{matrix} a\\ b \end{matrix}\right)$ 後，會得到
\[ \left|\psi\right>=
\left(\begin{matrix}
0&1\\1&0
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
a \\ b
\end{matrix}\right)
= \left(\begin{matrix}
b \\ a
\end{matrix}\right). \]
也就是說， $X$ 可將 $\left| 0 \right > $、$\left| 1 \right > $ 兩狀態互換（也因此 $X(a\left|0\right>+b\left|1\right>)=a\left|1\right>+b\left|0\right>$ ）。對於各種不同的gate，先了解其對於基底（$\left| 0 \right > $、$\left| 1 \right > $）的作用，就更能掌握其對不同量子態的作用。
再來，要介紹另外幾個常見的閘，分別是 $H$（Hadamard gate）、 $S$ （phase gate）、以及 $T$（T-gate）
\[\begin{align*}
H &= \frac{1}{\sqrt 2} \left(\begin{matrix}
1&1\\1&-1
\end{matrix}\right)
= \frac{1}{\sqrt 2}(X+Z)\\\quad\\
S &= \left(\begin{matrix}
1&0\\0&i
\end{matrix}\right)
= \sqrt{Z}\\\quad\\
T &= \left(\begin{matrix}
1&0\\0&\exp (i\pi/4)
\end{matrix}\right)\quad
= \sqrt{S}
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
H &= \frac{1}{\sqrt 2} \left(\begin{matrix}
1&1\\1&-1
\end{matrix}\right)
= \frac{1}{\sqrt 2}(X+Z)\\\quad\\
S &= \left(\begin{matrix}
1&0\\0&i
\end{matrix}\right)
= \sqrt{Z}\\\quad\\
T &= \left(\begin{matrix}
1&0\\0&\exp (i\pi/4)
\end{matrix}\right)\quad
= \sqrt{S}
\end{align*}\]
以上共六種算符，是常在量子電路中看到的組成元件。（才怪我根本沒見過 $T$ 。但 $H$ 很重要，真的）
$H$ 在量子計算中非常重要，讀者可自行驗證 $H$ 將 $z$ 方向基底（$\left| 0 \right > $、$\left| 1 \right > $）分別轉到 $x$ 方向的基底（$\left| + \right > $、$\left| - \right > $），其中 $\left| \pm \right > = \frac{1}{\sqrt 2}(\left| 0 \right > \pm \left| 1 \right > )$，也就是將基底狀態轉為兩者的疊加態。而在往後討論到多位元電路時， $H$ 可用來產生多顆 qubit 的「均勻疊加態」，。
$H$ 在量子計算中非常重要，讀者可自行驗證 $H$ 將 $z$ 方向基底（$\left| 0 \right > $、$\left| 1 \right > $）分別轉到 $x$ 方向的基底（$\left| + \right > $、$\left| - \right > $），其中 $\left| \pm \right > = \frac{1}{\sqrt 2}(\left| 0 \right > \pm \left| 1 \right > )$，也就是將基底狀態轉為兩者的疊加態。而在往後討論到多位元電路時， $H$ 可用來產生多顆 qubit 的「均勻疊加態」，。
量子閘與 Bloch sphere
如同前文介紹，qubit 的狀態可以用 Bloch Sphere 上的點來表示，因此可以定義對於 $x, y, z$ 三個軸的「旋轉操作」。當然這些旋轉並不是針對某個真實物體的旋轉，僅僅是對於 qubit 狀態在 Bloch sphere 上的位置做出特定的變化。繞 $x, y, z$ 三軸旋轉 $\theta$ 的算符分別記做 $R_x(\theta), R_y(\theta), R_z(\theta)$，各自定義如下：
\[\begin{align*}
R_x(\theta) & \equiv e^{-i\theta X/2}=
\left(\begin{matrix}
\cos \frac\theta 2 & -i\sin \frac\theta 2 \\
-i\sin\frac\theta 2 & \cos \frac\theta 2
\end{matrix}\right) \\\quad\\
R_y(\theta) & \equiv e^{-i\theta Y/2}=
\left(\begin{matrix}
\cos \frac\theta 2 & -\sin \frac\theta 2 \\
\sin\frac\theta 2 & \cos \frac\theta 2
\end{matrix}\right)\\\quad\\
R_z(\theta) & \equiv e^{-i\theta Z/2}=
\left(\begin{matrix}
\exp (-i\theta/2) & 0 \\
0 & \exp (i\theta/2)
\end{matrix}\right)
\end{align*}\]
其中形如 $\exp (-i\theta X/2) $ 的項利用矩陣指數來定義。雖然這些旋轉的定義看起來十分複雜，但其實只要先寫出在不同旋轉時，球座標的角度（$\theta, \phi$）的變換，最後再利用 Bloch sphere 上點座標到量子態的對應，就可以得到這些旋轉變換的表示式了。
為什麼要特別注意 Bloch sphere 上的旋轉呢？事實上，可以證明所有合法操作（即 unitary operations）都可以表示成 $e^{i\alpha}R_z(\beta)R_y(\gamma)R_z(\delta)$，也就是表示成一些 $Z, Y$ 方向的旋轉的乘積，此稱作 Z-Y decomposition [2]。當然，也可以把算符對於 x, y 兩方向的旋轉展開，得到類似的 X-Y decomposition 等等。
至此，對於單位元閘的簡介告一段落，下篇文章將會介紹多位元閘（multi-qubit gate，作用對象不只單個 qubit 的操作），尤其是最重要的雙位元閘：CNOT。此外，關於常見的算符恆等式、以及怎麼利用這些算符建構出特定的演算法等等課題，將於往後的文章陸續介紹。
參考資料/註解
[1] 此範例電路由此繪出 https://quantumexperience.ng.bluemix.net/qx/editor
[2] M. Nielsen and I. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (2010), p. 175
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