量子是什麼？

「物理學中常用到量子的概念，指一個不可分割的基本個體。而「量子化」指其物理量的數值是特定的，而不是任意值。」

——wikipedia 

一些歷史

           西元1905年，愛因斯坦(Albert Einstein) 發表了劃時代的四篇鉅作，讓物理學在這一年中獲得了巨大的進步，其中在"Concerning an Heuristic Point of View Toward the Emission and Transformation of Light " 一文中^[1]，首先提出了「光量子」的概念，即光是由離散的粒子組成，而非以往認為的連續電磁波。除此之外，西元1900年普朗克(Max Planck) 發表的黑體輻射定律，就提到了某種能量量子化的概念（不像愛因斯坦認為光的量子化，而是某種原子振動的能量量子化）。而在愛因斯坦之後，陸續有波耳(Niels Bohr)解釋了氫原子的不連續光譜、德布羅意(Louis de Broglie) 提出了物質波的概念等等，建構了「舊量子論」。到了1925年後，海森堡(Werner Heisenberg)、波恩(Max Born)、薛丁格(Erwin Schödinger)、狄拉克(Paul Dirac) 等許多物理學家陸續建構出了現今的「量子力學」。

一個實驗

           前面提到了許多物理學家對於量子力學發展的貢獻，那有什麼簡單的實驗可以讓人感受到與常理相悖的量子力學呢？為此，將先介紹著名的 Stern-Gerlach (SG) 實驗。

裝置

           實驗裝置簡圖如上圖^[3]，本實驗中將銀加熱並從高溫爐中射出銀原子束，校準後射入一不均勻磁場，原子束會在磁場中偏移，最後落在屏幕上。屏幕上的斑點顯示了銀原子在磁場中是如何偏折的。因為銀原子具有磁矩（即像是一個小磁鐵），通過不均勻磁場時會偏向，而偏移量和磁矩的方向（更確切的說，和磁矩在磁場方向的投影量）有關。常理而言，從高溫爐中射出的原子的磁矩方向應該是凌亂的，因此會有各種不同偏移量產生，故在屏幕上應該顯現整片連續分布的黑斑。

           然而，屏幕上看到的卻是兩個分離的黑斑。表示銀原子的磁矩只有特定取向，更精確的說，原子在通過了 SG 裝置後，被觀測到的磁矩方向是量子化的。為了方便描述，將訂 $z$ 方向為此 SG 裝置的磁場方向。並且將兩原子束稱作 $+z$、$-z$ 方向，或是利用Dirac 的 bra-ket 表示法，將兩者分別寫作 $\left |z+\right >$、$\left |z-\right >$。此外，當需要強調此 SG 裝置是 $z$ 方向之磁場時，會寫成 SGz。

更多裝置

         從單獨一個 SG 裝置中觀測到磁矩量子化的現象，那如果串接許多 SG 裝置呢？如上圖^[4]所列的三種組合與各自測量結果：

1. 通過 SGz 後，取 $+z$ 原子束再通過 SGz：只有 $+z$ 。
2. 通過 SGz 後，取 $+z$ 原子束通過 SGx： $\pm x$ 各半。
3. 通過 SGz 後，取 $+z$ 原子束通過 SGx，再取 $+x$ 原子束通過 SGz： $\pm z$ 各半。

           實驗 1 的結果聽起來十分合理，原子通過第一台 SGz 之後，只有 $+z$ 的部分留下，再通過一次 SGz 自然不會有 $-z$ 的成分。實驗 2 的結果顯示最後的 $+x,\,-x$ 的強度相等。這是不是代表射出第一台 SGz 的 $+z$ 原子束中，有一半是 $+z$ 及 $+x$ 、另一半是 $+z$ 及 $-x$ 呢？這可以利用實驗 3 來驗證：實驗 3 把實驗 2 後面再多串一個 SGz 。依照前面的說法，射入最後一個 SGz 的原子束全是 $+z$，只是 $\pm x$ 各半，因此最終應該只有 $+z$ 的原子束射出。然而，實驗結果卻是 $\pm z$ 有一樣的強度！

           這一連串的實驗呈現了量子力學超乎常理的表現。事實上，從上述的實驗可以得到許多量子物理重要的觀念，包括不同測量的相容性 (compatibility)、狀態的疊加 (superposition)、不同基底的選取等等。有興趣的讀者可以閱讀參考資料 [2]。

量子世界

           在這個段落，將介紹一些量子物理的特性，包括疊加態 (superposition) 與測量 (measurement) 兩個重要的概念。

疊加態

           延續前面的討論，假設某種物質在通過 SGz 實驗後會分成兩束，並將兩束的狀態分別記為 $\left|+\right>$、$\left|-\right>$ （這個表示法稱作 Bra-ket Notation）。類似的，從 SGx 射出的兩束粒子也可以記做 $\left|x+\right>$ 及 $\left|x-\right>$（特別標明 $x$ 以免和原本 $z$ 方向的混淆）。那麼$\left|x+\right>$ 、 $\left|x-\right>$ 和原本的 $\left|+\right>$、$\left|-\right>$ 有什麼關聯呢？

           事實上，經過一些推導^[2] 可得到\[\left|x+\right>=\frac{\left|+\right>+\left|-\right>}{\sqrt 2},\quad \left|x+\right>=\frac{\left|+\right>-\left|-\right>}{\sqrt 2} \] 算式中出現的 $\left|+\right>\pm\left|-\right>$ 什麼意思呢？這就是量子物理中特別的「疊加態」。打個比方，$\left|+\right>$ 是一個硬幣正面朝上；而 $\left|-\right>$ 則是反面朝上。那「疊加態」 $\frac{\left|+\right>+\left|-\right>}{\sqrt 2}\,$  就可以想像成一個在桌上旋轉的硬幣——既不是正面，也不是反面。

測量

           有了量子態疊加的觀念後，就要回頭再看看前面的 SG 實驗：事實上，每個 SG 實驗就是一個「測量」。例如 SGz 就是測量 $z$ 方向的磁矩，而出來的兩束原子就是測量後不同的兩組結果，即前段提到的 $\left|+\right>$ 與 $\left|-\right>$ 。利用硬幣的類比，可以想像成一個在旋轉的硬幣（疊加態），經過測量後就像是被手按到桌上，停留到正或負的某一個狀態。最後，利用這兩段的概念來解釋前面列舉的三個實驗裝置：

           首先對於實驗一，粒子通過 SGz 後只有 $\left|+\right>$ 被留下，將其再通過 SGz，因為 SGz 是一台測量 $z$ 方向磁矩的裝置，若是把 $\left|+\right>$ （僅有 $+z$ 的成分）射入，結果將仍然是一樣強度的  $\left|+\right>$ 。

           再來，實驗二是將通過 SGz 後的 $\left|+\right>$ 再射入 SGx。因為 SGx 的可能結果為 $\left|x+\right>$、$\left|x-\right>$ ，而入射的 $+z$ 粒子束( $\left|+\right>$ ) 可被表示為 $\pm x$ 的和( $\left|+\right> =\frac{\left|x-\right>+\left|x+\right>}{\sqrt 2}$    )，也就是說，  $\left|+\right>$ 的其實是 $\left|+x\right> $、$\left|+x\right> $ 各一半的疊加態！因此最後通過 SGx 之後才會有正負各半的結果。

           最後的最後，如果僅把上個實驗輸出中的 $\left|x+\right>$ 保留並通入 SGz，因為 $\left|+\right>=\frac{\left|x+\right>+\left|x-\right>}{\sqrt 2}$   且 $\left|-\right>=\frac{\left|x+\right>-\left|x-\right>}{\sqrt 2}$  ，為 $\pm z$ 的疊加態。因此最後通過 SGz 的結果才會是 $\pm z$ 各半。


           至此，這篇文章告一段落，如果讀者一路閱讀到這裡，非常感謝，也希望文章有帶給您收穫。若看完仍舊無法理解也別氣餒，以一句費曼的話作為結尾或許相當適合：

"I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics."

—— Richard Feynman (1965)

參考資料

[1] A. Einstein, Concerning an Heuristic Point of View Toward the Emission and Transformation of Light, Ann. Phys. 17, 132 (1965).
[2] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, 1994), Ch.1.
[3] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%BD%E7%89%B9%E6%81%A9%EF%BC%8D%E6%A0%BC%E6%8B%89%E8%B5%AB%E5%AE%9E%E9%AA%8C
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Gerlach_experiment

（如有任何建議歡迎指教！）